Rom og dimensjon – hva er det?

Den store tyske matematikeren Carl-Friedrich Gauss skrev i 1830: «Vi må i all beskjedenhet tilstå at mens tallene er et produkt av vår bevissthet, så har Rommet en realitet utover vår bevisthet, og har regler som vi ikke fullt ut kan formulere.» Det virker altså som om Gauss tvilte på om de da eksisterende matematiske rom-begreper, deriblant hans egen ikke-evklidske geometri, ville være i stand til å stå modell for kosmologiens Rom.

’Rommet har en realitet utover vår bevissthet, med regler som vi ikke fullt ut kan formulere.’ Foto: Ståle Skogstad (©)

Apollons kronikk:

Om geometrien og vår virkelighetsoppfatning.

Jeg synes dette er et sympatisk trekk ved personen Gauss, som ellers ikke var særlig beskjeden av seg. Tanken på at vi noen gang skulle kunne finne den endelige matematisk formulerte modell for kosmologiens Rom, er etter min mening absurd.

Det hindrer likevel ikke at en stadig forsøker å finne bedre modeller og at man i dag er kommet et godt stykke lengre enn på Gauss´ tid.

Kosmologiens Rom

Det er rimelig å tro at alle kulturer de siste 10000 år har hatt en ganske avansert kosmologi hvor forestillingen om Rommet, universet, har hatt en sentral plass. Vår kulturkrets arvet det bilde som grekerne utviklet, og som i nesten to tusen år formidlet vår forestilling om universet og vår plass i det. Dette bildet har vi fra Aristoteles og den greske astronomen Ptolemaius, og vi kjenner det igjen fra Dantes beskrivelse i det 13. århundre, av stedet der han hadde gjort sine observasjoner.

I midten er den sirkelrunde Jord, med Helvete i sitt indre og en smal passasje mellom det og Skjærsilden, som ligger i bunnen av en slags trappeformet pyramide satt ned i jordens overflate, med det jordiske paradis på toppen. Utenfor dette følger ni konsentriske kuleflater av eter, som inneholder, innenfra og ut, Månen, Merkur, Venus, Solen, Mars, Jupiter, Saturn, fiksstjernene med stjernebildene, og helt ytterst Krystall-sfæren, Primum Mobile. Utenfor ligger det empyriske Paradis. Rommet var derfor endelig, og egentlig flatt innenfor hver kuleflate.

Skjærsilden på Sicilia?

Da Skjærsilden ble introdusert i den kristne forestillingsverden på 1000–1100-tallet, ble plasseringen av dette stedet et problem. Den franske historikeren Le Goff forteller at man en tid var innstilt på å la det ligge i bunnen av vulkanen Etna, men så erobret muslimene Sicilia, og da gikk ikke det. Resultatet ser vi altså i Dantes figur, der Skjærsilden er blitt Det tredje sted .

Noen har spekulert på om denne plasseringsdebatten ga opphav til den endrede forestillingen om Rommet som tredimensjonalt , slik den nye billedkunsten på 1200–1300- tallet framstilte det ved innføringen av perspektivet.

Det som er sikkert, er at omtrent på denne tiden fødtes en helt ny matematisk forestilling om Rommet, med røtter i antikken.

Antikkens rom-begrep

Grekerne hadde ved siden av sin gudeverden, som mange av datidens vismenn egentlig ikke tok særlig alvorlig, og ved siden av Aristoteles´ forestilling om det sfæriske univers, en eksakt kosmologi, og en matematisk vel formulert modell for Rommet. Den var bygd på den evklidske geometri, slik vi kjenner den fra Evklids bok Elementer og gjorde det mulig for Aristarchos fra Samos, som levde i det fjerde århundre før vår tidsregning, å beregne avstandene til måne og sol, og solens, månens og jordens relative størrelser. Han kom ut i uvær da han til og med foreslo at solen var mange ganger større enn jorden og at jorden derfor måtte gå rundt solen. Man hadde spekulert på om solen kunne være større enn Peloponnes, men det fikk da være grenser. De lokale moralske autoriteter slipte knivene og ville ha en prosess, men Aristarchos var heldig og slapp unna.

Astronomen Erathostenes, som virket i Aleksandria vel et århundre senere, brukte geometrien og kjennskapet til en dyp brønn i Syene, nåværende Assuan, der Nassers Nil-dam ligger, til å beregne jordens størrelse, til nesten eksakt det den er.

Etter den greske kulturs sammenbrudd på 400–500 tallet, lå denne kunnskapen lenge i dvale, men rundt 1200 dukket den altså opp igjen.

Den nyere tids kjettere

Historien videre, med Kopernikus, Bruno og Kepler, på 1500–1600-tallet, er kjent for de fleste. Giordano Bruno var en av de første som torde å foreslå at Rommet var uendelig, med «et utellbart antall soler, og et uendelig antall jordkloder som roterer rundt disse solene».

I 1600 ble han brent på bål for dette kjetteriet.

Mindre kjent er den engelske forfatteren Thomas Digges, som før Bruno i 1576 skrev om utallige soler og et uendelig univers . Og slik har vi senere oppfattet det, helt til tvilen kom krypende i første halvdel av det 20. århundre. Kanskje er universet likevel endelig.

Den geometriske rom-modell vinner fram

Dette var Rommet med stor R, kosmologiens rom. Men matematikken har også hatt et rombegrep, helt fra grekernes dager. Geometrien handler om det, og denne matematiske grenen har hatt enorm innflytelse på vår nåværende forestilling om Rommet med stor R.

Førsteutgaven til Encyclopædia Britannica , fra 1771, har følgende svar på spørsmålet om hva rom er: Først Rommet med stor R,

«Rom(met) er (av Mr. Locke) definert som en enkel idé som vi (tilegner oss eller) oppnår ved hjelp av både syn og berøring; og som manifesteres ved begrepene lengde, volum, utstrekning, varighet etc. Se Metafysikk.»

«Rom, i geometri, betegner arealet til enhver geometrisk figur, eller den flate som fyller mellomrommet mellom linjene som omslutter figuren.»

«The Society of Gentlemen in Scotland», som utga encyclopædiaen, skiller altså klart mellom det vi kaller for Rommet, kosmologiens tredimensjonale rom og det geometriske begrep rom, som defineres som et todimensjonalt plant område, for eksempel begrenset av linjer, i tråd med den evklidske plangeometri.

Galileo Galilei: italiensk fysiker og astronom, en av den eksperimentelle fysikks skapere, 1564 -1642.

René Descartes: fransk filosof og matematiker, 1596 - 1650.

Pierre de Fermat: Fransk matematiker, 1601 - 1665.

Isac Newton: engelsk fysiker og matematiker, skaperen av gravitasjonsteorien og, sammen med Leibniz, differensialregningen.

Gottfried Wilhelm Leibniz: tysk filosof og matematiker, 1646 - 1711.

Men i tiden mellom Evklid i det tredje århundre før vår tidsregning og 1771 hadde ikke bare fysikken, men også geometrien tatt et par store sprang framover.

Galilei, Descartes og Pierre de Fermat, Newton og Leibniz la på 1600-tallet grunnlaget for en helt ny måte å se den fysikalske verden på og skapte det nødvendige matematiske verktøy for å formulere og løse urgamle problemer knyttet til vår kosmologi.

Etter Galilei er all naturvitenskap forsøkt formulert i en matematisk språkdrakt, og etter Descartes´ fundamentale arbeider på 1620-tallet, som vi skal komme tilbake til, var det evklidske rom-begrep blitt fundamentalt endret og utvidet, slik at det nå lå til rette for å formulere en matematisk modell for kosmologiens Rom-begrep. Det vi i dag kaller den klassiske fysikk, er fremdeles basert på dette generaliserte evklidske, eller kartesiske rom-begrepet, hvor punkter beskrives ved hjelp av tre koordinater, i et koordinatsystem som ser ut som et hjørne i det rom vi sitter i, med x- og y-aksene i gulv-planet og z-aksen rett opp.

Rom og dimensjon

Begrepet rom er også uløselig knyttet til begrepet dimensjon, og det har vist seg å være et vanskelig begrep. I den før nevnte Encyclopædia Britannica er dimensjon definert ved:

«Dimensjon, i geometri, er enten lengde, bredde eller tykkelse: således har en linje en dimensjon, dvs. lengde; en overflate har to dimensjoner, dvs. lengde og bredde; og et legeme har tre , dvs. lengde bredde og tykkelse.»

Denne forestilling om dimensjon, til de ulike geometriske objektene, punkt, linje, flate, og volum, er urgammel. Det er rimelig å tro at sumererne, helt sikkert egypterne i den klassiske epoken, og vitnefast grekerne på pythagoreernes tid, ville ha forstått hva man snakket om. Men de ville ikke ha tenkt på samme måte som forfatteren i 1771. Det kartesiske dimensjonsbegrepet i denne definisjonen er nemlig knyttet til antall koordinater, eller antall parametre , og det er nytt.

Fra to til mange dimensjoner

Geometrien fra den klassiske perioden fikk, som allerede nevnt, nytt liv ved Descartes og de Fermat og det som senere er blitt kalt algebraisk og analytisk geometri.

Pythagoras: gresk filosof og matematiker, stifteren av sekten som bærer hans navn, skal ha levd i det 6. århundre f.v.t.

Ved å velge en måleenhet og to på hverandre vinkelrette linjer i det evklidske plan, kunne Descartes til hvert punkt i planet assosiere et tallpar (x,y), koordinatene til punktet, og i dette rommet av tallpar er avstanden mellom to punkter definert ved hjelp av Pythagoras´ sats.

Denne nye måten å oppfatte planet på, som en samling eller mengde av tallpar, gjorde det også mulig og naturlig å utvide det matematiske rom-begrepet i mange retninger. For med en opplagt generalisering av Pythagoras´ sats, vil mengden av alle ’talltupler’ av formen (x,y,z,u,v, ...,å) ha egenskaper av samme natur som det todimensjonale evklidske rom.

I 1771 var det dermed ingen grunn til å begrense seg til rom av 1 eller 2 dimensjoner, slik encyklopædiaen gjør. Det kartesiske rom av dimensjon 3, 4, 5, etc. var allerede etablert.

Begrepet polynom i flere variabler som Descartes og de Fermat introduserte, gjorde det i tillegg mulig å definere og studere en uendelighet av nye kurver i planet, nye flater i det tredimensjonale rom og helt andre geometriske rom.

Tidrommet.

Det firedimensjonale kartesiske rom, av punkter med koordinatene (t,x,y,z), ble tidlig assosiert med Tidrommet . Dette til tross for at Tidrommet, universet med vår historie og vår framtid inkludert, har egenskaper som er helt forskjellige fra det ordinære Rom. Det ordinære Rom kan identifiseres med det tredimensjonale kartesiske rom ved å velge en måleenhet med tilhørende måleredskap, for eksempel en meterstav.

For å identifisere Tidrommet med det firedimensjonale kartesiske rom, må vi imidlertid velge en lengdeenhet, for eksempel meteren, for de tre siste koordinatene, men også en tidsenhet, og denne tidsenheten må nødvendigvis være av en helt annen natur enn en meterstav i platina. Dessuten er negativ tid ikke forenlig med vår umiddelbare erfaring.

Likevel, denne kartesiske firedimensjonale modellen for Tidrommet ble uten særlig motstand akseptert av tidens fysikere, og denne matematiske modellen er nå blitt vårt bilde av verden, selv om de fleste av oss neppe går rundt og tenker på hvor vi er og hva vi gjør og hvor lenge det tar , i slike termer.

Topologi

Bernhard Riemann: tysk matematiker, 1826 - 1866.

James Clerk Maxwell: skotsk fysiker, 1831 - 1879.

Hermann Minkowski: polsk-tysk matematiker, 1864 - 1909.

Henri Poincaré: fransk matematiker, 1854 - 1912.

Etter at matematikerne Gauss og Riemann, Maxwell, Minkowski og Poincaré på 1800-tallet igjen hadde gitt geometrien et helt nytt innhold, ble det klart at avstandsbegrepet, metrikken , var en nøkkel til ny forståelse av geometrien og begrepet rom. Man måtte avfinne seg med at det i en del av Rommet ble brukt én målestav og én klokke, og i andre deler av Rommet andre målestaver og andre klokker. Små endringer av disse målestavene eller disse klokkene vil normalt ikke endre rommets essensielle egenskaper. Det som da ikke endrer seg, kaller en for topologien til rommet. To rom kan derfor ha forskjellig metrikk , men likevel være topologisk like (homeomorfe).

Georg Cantor: tysk matematiker, født i St. Petersburg, 1845 - 1918.

Topologi, eller analysis situs , læren om stedet, er en del av mengdelæren, og han som har hovedæren for å ha oppfunnet mengdelæren, tyskeren Georg Cantor, var tidlig ute med noen merkelige satser. Først viste han at mengden av de reelle tall slik vi matematisk beskriver dem, er en fenomenalt stor mengde. De rasjonale tall, dvs. de tall som er brøker av hele tall, utgjør bare en forsvinnende liten del av mengden av de reelle tall.

Dessu ten, hevdet han, er det like mange punkter på linjen som i planet og like mange i planet som i det tredimensjonale kartesiske rom, etc. Det betyr at dette tallet 3, dimensjonen til det tredimensjonale kartesiske rom, ikke har noen mening i forhold til antall punkter i det rom vi snakker om.

Giuseppe Peano: italiensk matematiker, 1858 - 1832.

Dette var urovekkende, men virkelig ille ble det da den italienske matematikeren Giuseppe Peano viste at det eksisterer en kontinuerlig avbildning av et linjestykke kvadratet i planet, og derfor kuben i rommet, etc.

Universell hodepine

Kunne det tenkes at linjen var topologisk lik planet og at planet var topologisk likt det tredimensjonale kartesiske rom? I så fall ville det ikke eksistere noe som man med rimelighet kunne kalle dimensjon. Da ville sammenhengen mellom en linje og den ene dimensjon, mellom et plan og de to dimensjonene, mellom rommet og de tre, bare avhenge av valg av koordinatsystemer, og vi ville få store problemer med hele vårt fysiske verdensbilde.

I 1911 kunne endelig Brouwer bevise at det n-dimensjonale kartesiske rom ikke er homeomorft med det m-dimensjonale for n forskjellig fra m. Dermed var den verste hodepinen over, og året etter grunnla franskmannen Henri Poincaré den matematiske dimensjonsteori .

Poincarés artikkel ble trykt i Revue de métaphysique et de morale i 1912, hans siste leveår, og inneholder følgende avsnitt.

Av alle teoremer innen analysis situs (topologien) er det viktigste det som uttrykker at rommet har tre dimensjoner ... ... vi skal stille spørsmålet slik: når vi sier at rommet har tre dimensjoner, hva mener vi?

... hvis det, for å skille (i to eller flere åpne mengder) et kontinuum, er tilstrekkelig å ta bort et visst antall isolerte punkter, sier vi at kontinuumet har dimensjon 1.

... hvis det for å skille et kontinuum (som ikke er av dimensjon 1), er tilstrekkelig å ta bort et eller flere kontinua av dimensjon 1, sier vi at kontinuumet har dimensjon 2 .

Så fortsetter han og definerer, induktivt, det vi skal mene med dimensjon.

Nye dimensjonsbegreper

Noe før, i 1911, fortelles det at landsmannen Henri Lebesgue, idet han passerte en av de mange murstensveggene i Paris, observerte at hvis man deler inn et plan i små nok biter, så vil høyst tre støte sammen. Det er velkjent for enhver murer! Men Lebesgue generaliserte dette senere til alle dimensjoner, og dermed oppstod et nytt matematisk dimensjonsbegrep, kalt overdekningsdimensjon .

For ethvert topologisk rom ble det nå mulig å definere en dimensjon, et helt tall, enten ved den induktive metoden til Poincaré, eller ved Lebesgues overdekningsmetode. Disse dimensjonstallene faller sammen for rimelig pene rom, og dimensjonsbegrepet har de egenskapene som man kan forvente. (Se f.eks. den fenomenalt godt skrevne boken til Witold Hurewicz og Henry Wallman: Dimension Theory , Princeton University Press, fra 1941.)

Henri Lebesgues: fransk matematiker, 1875 - 1941.

Felix Hausdorff: tysk jøde, professor i matematikk i Bonn. Sammen med sin kone tok han sitt eget liv i 1942, like før nazistene kom for å hente dem til transport østover, 1919 - 1942.

Det finnes også andre, ganske forskjellige dimensjonsbegreper. Hausdorff-dimensjonen til et metrisk rom trenger for eksempel ikke å være et helt tall. Et rom som har Hausdorff-dimensjon som ikke er et helt tall, kalles en fraktal. Men denne Hausdorff-dimensjonen, og dermed begrepet fraktal, er helt avhengig av metrikken, «målestavene», som vi bruker i rommet vårt. Det er ikke et topologisk begrep, og den fysiske relevans er tvilsom. Vi har også begrepet Krull-dimensjon, definert for de rom vi kaller algebraiske varieteter.

Universets dimensjon

Kosmologiens Rom er neppe en fraktal, men kanskje er det algebraisk. Denne hypotesen er kan hende like bra som den at alt må måles og modelleres ved hjelp av de reelle tall.

I nåtidens fysikk arbeider man i alle fall med modeller for det kosmologiske Rom, modellert ved hjelp av metriske, topologiske og algebraiske rom av dimensjon 4, 10, 16, 22, 26 og uendelig. Og det blir stadig flere slike modeller. Hvilken dimensjon vårt kosmologiske Rom egentlig har, tør jeg, i pakt med Gauss, ikke uttale meg om!

Spørsmålet kan kanskje ha en mening , men 3 eller 4 er i alle fall ikke svaret.

Emneord: Matematikk og naturvitenskap, Matematikk, Topologi/geometri Av Olav Arnfinn Laudal
Publisert 1. feb. 2012 12:12
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere