Matematikkens estetikk

Matematikeren Niels Henrik Abel ble født for 200 år siden, og jubileet har vært behørig markert. Men hva er det som fortsatt fascinerer ved hans vitenskapelige arbeider fra begynnelsen av 1800-tallet? Hva er Abels arv til dagens forskere?

Abels lemniskate-figur

I sommer var rundt 300 matematikere samlet til den store Abel-konferansen på Universitetet i Oslo. Nå ferdigstilles boka fra symposiet: ”The Legacy of Niels Henrik Abel” – Abels arv. Matematikkprofessorene Olav Arnfinn Laudal og Ragni Piene ved UiO er redaktører for verket som blir utgitt på tyske Springer Verlag etter nyttår. – Vi ønsket ikke å lage en vanlig artikkelsamling – en ”proceedings” – fra konferansen, hvor forskerne stort sett trekker fram sine egne ting. Allerede for to år siden ble flere spesialister kontaktet og bedt om å jobbe spesifikt med prosjekter innenfor Abels vitenskapelige, matematiske nedslagsfelt. Den utfordringen har de fleste tatt, og alle artiklene i boka blir nå fokusert på arven fra Abels matematikk og på Abels innflytelse i dag, forteller Laudal. Han mener viljen til å fokusere på Abel viser hvilken betydning de snart 200 år gamle ideene har for dagens matematikere.

Klassiske problemstillinger

Men hva består arven etter Abel i? Ifølge Laudal er det to tilnærminger til dette spørsmålet. Den første dreier seg om de klassiske matematiske problemstillingene som Abel leverte viktige bidrag til:

1) Likningsteori: Her er Abel blant annet kjent for å ha bevist at femtegradslikningen ikke lar seg løse ved hjelp av de fem klassiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon samt rotutdragning. For å vise dette, studerte Abel hvordan løsningene måtte se ut hvis en bare bruker disse fem regneoperasjonene. Fordi egenskapene til slike løsninger kunne vises å være uforenelige med egenskapene til løsningene av den generelle femtegradslikning, er satsen bevist.

2) Gruppeteori: De likningene Abel fant var løsbare ved hjelp av de fem klassiske regneoperasjonene, svarer til de likningene som har kommutative symmetrigrupper, slike som i dag kalles 'abelske grupper'. Dette ledet igjen til den generelle likningsteori, som noen år etter ble funnet av en annen ung matematiker, Evariste Galois, og til den generelle gruppeteori, som ikke bare har interesse innenfor matematikken, men er like viktig innen fysikk og all annen naturvitenskap.

3) Symmetribegrepet: Analysen av abstrakte og fysiske systemer hvor symmetri er til stede, ledet til studiet av symmetrigruppene til generelle matematiske objekter. Dette studiet ble videreført av den andre giganten i norsk matematikk, Sophus Lie, og lever i dag som Lie-teori, Lie-grupper, Lie-algebraer etc.

4) Algebraisk geometri eller kompleks geometri: På dette feltet går selve fødselen tilbake til Abel.

5) Rigorøsitet i matematikken: Abel var en av de første som tvang gjennom rigorøse bevis for hele felter innen matematikken. En av dem som tidlig tok utgangspunkt i Abels ideer, var den tyske matematikeren Bernhard Riemann, som utviklet den algebraiske og komplekse geometri på 1850-tallet. I dag går mange matematikere direkte til Riemann og Abel når de skal jobbe med disse problemstillingene.

Avansert fysikk

– Den andre måten å se på Abels innflytelse, er mer mangslungen, og i den kommende boka belyser fem framtredende matematikkhistorikere dette komplekse temaet på nye måter. Det dreier seg blant annet om hvordan Abels ideer har dannet grunnlaget for virksomhet innen andre felter som for eksempel innenfor teoretisk fysikk, sier Laudal.

Han trekker fram fenomenet ”strengteori” som et eksempel på dette. Bakgrunnen for denne typen teori er problemene med å integrere kvantemekanikken og relativitetsteorien, et problem Einstein jobbet med helt til sin død. Mens relativitetsteorien brukes til å beskrive universets egenskaper i stor skala, er kvantemekanikken den teorien man anvender for å studere naturen på atomnivå. Problemet er at disse to teoriene ikke harmonerer og er svært motstridende særlig når det gjelder beskrivelser av ekstreme fenomener som svarte hull eller tiden nær ”the big bang”. Derfor har fysikerne utviklet nye teorier, som kalles ”strengteori” eller ”superstrengteori” og det er her Abels innflytelse på algebraisk og analytisk geometri er en viktig forutsetning.

– Den mest avanserte teoretiske fysikken bruker i dag andre virkemidler enn for bare 20-30 år siden. Essensielt er det slik at man går fra en differensial-geometrisk basis til en algebraisk-geometrisk basis, og for denne siste er man helt avhengig av Abels og Riemanns teorier, forklarer Laudal.

Vakker matematikk

En anekdote forteller om en av forrige århundredes matematiske storheter, Alexander Grothendieck, som knyttet Abels navn til en spesielt viktig kategori og fikk spørsmål om hvorfor han gjorde det. ”Fordi slike kategorier er vakre,” svarte Grothendieck. – Jeg vet ikke om noen annen matematiker som gir et slikt ”kick” som Abel. Mange som leser Abel i dag, blir slått av hans evne til å formulere og løse problemene i en mest mulig generell form. Det er uhyre tilfredsstillende og estetisk. Alle framhever det vakre ved Abels matematikk, og dette poenget er viktig for å forstå interessen for ham i dag. Vår tids toppmatematikere gir Abel en stadig større anerkjennelse for idéskapningen han bidro med, konkluderer Laudal. Han understreker samtidig at entusiasmen for Abel er slik at det kan være en fare for at man tillegger ham for stor betydning. Den nye boka søker derfor å gi et mest mulig objektivt bilde av arven etter Abel.

I dag kan datamaskinene foreta astronomiske regneoperasjoner som før var umulige å gjennomføre. Er det lett for dagens matematikere å fokusere for sterkt på den tekniske utviklingen? – Datamaskinene kan regne fenomenalt fort, men maskinene kan ikke lage modeller. Maskinene regner eksempler, men modellene kommer "innenfra" og er uttrykk for en menneskelig kreativitet. Noe av det aller viktigste med Abels teorier er at de er så generelle. De har lite med dagens datamaskiner å gjøre, konstaterer Laudal.

Emneord: Matematikk og naturvitenskap, Matematikk Av Johannes W. Løvhaug
Publisert 1. feb. 2012 12:06
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere