Abelprisen 2006 til Lennart Carleson

Abelprisen 2006 på omkring 6 millioner kroner er tildelt den 78 år gamle professoren og matematikeren Lennart Carleson fra Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm. Prisen gis for hans ”dyptgående og nyskapende bidrag til harmonisk analyse og teorien om kontinuerlige dynamiske systemer."

ABELPRISEN: Professor Lennart Carleson fra Den Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm ble 23. mars tildelt Abelsprisen 2006.(Foto: Privat/ Abelprisen/Det Norske Videnskaps-Akademi)

I begrunnelsen fra Det Norske Videnskaps-Akademi, som deler ut prisen, fremheves Carleson som en ”problemløser”. Han er kjent for å ha tatt tak i gamle, vanskelige problemer, til dels ved hjelp av uhyre kompliserte metoder. – Carleson ligger alltid langt foran alle andre. Han konsentrerer seg kun om de vanskeligste og mest dyptgående problemene. Så snart han har løst disse, lar han andre ta over det riket han har oppdaget. Selv går han videre til enda mer utilgjengelige og fjerntliggende områder innen vitenskape, heter det i begrunnelsen.

Komiteen trekker fram fire spesielle problemer som Carleson har arbeidet med, hvor konvergens av Fourier-rekker nevnes i en særstilling. De andre er henholdsvis ”Koronaproblemet”, ”Hénon-avbildningen” og ”Kakeya-problemet”. I tillegg trekkes det fram at Carleson gjennom hele sitt virke som matematiker har vist stor interesse for matematikkens rolle i samfunnet.

Konvergens av Fourier-rekker

I 1807 gjorde den allsidige matematikeren, ingeniøren og egyptologen Jean Baptiste Joseph Fourier den revolusjonerende oppdagelsen at mange fenomener, fra de karakteristiske profilene som beskriver hvordan varme forplanter seg gjennom et metallstykke til fiolinstrengenes vibrasjoner, kan betraktes som summen av enkle bølgemønstre, kalt sinus og cosinus. Slike summeringer kalles nå Fourierrekker. Harmonisk analyse er den grenen innen matematikken som studerer slike rekker og lignende objekter.

I mer enn 150 år etter Fouriers oppdagelse ble det ikke funnet noen dekkende formulering og begrunnelse for hans påstand om at enhver funksjon er lik summen av dens Fourier-rekker. Selv om flere matematikere prøvde å løse problemet, forble det uløst. Man begynte å tro at det bare var et tidsspørsmål før en eller annen ville sette opp en kontinuerlig funksjon som var slik at summen av dens Fourier-rekker ikke ville gi funksjonsverdien i noe punkt.

Til den matematiske verdens overraskelse beviste Carleson i 1966 at enhver kvadratisk integrerbar funksjon, og dermed spesielt alle kontinuerlige funksjoner, er lik summen av dens Fourierrekker ”nesten overalt”.

Vanskelig tilgjengelig

KUNNGJØRING :Ole Didrik Lærum, preses i det Norske Videnskaps-Akademi, kunne torsdag 23. mars kunngjøre at professor Lennart Carleson var vinner av Abelprisen 2006. Foro: Scanpix

Beviset for dette resultatet er så vanskelig at det i over 30 år fremstod som mer eller mindre isolert fra resten av den harmoniske analysen. Det er først i det seneste tiåret at matematikerne har fått innsikt i den generelle operatorteorien som dette teoremet er en del av, og har begynt å ta i bruk Carlesons innflytelsesrike tanker i sine egne arbeider, skriver Det Norske Videnskaps-Akademi i sin bakgrunnsinformasjon om prisvinneren (les mer om Fourier-rekker her) .

Videre fremholder Videnskapsakademiet at Carleson har kommet med mange andre vesentlige bidrag til harmonisk analyse, kompleks analyse, kvasikonforme avbildninger og dynamiske systemer.

– Han har for alltid endret vårt syn på analyse. Ikke bare beviste han svært vanskelige teoremer, men metodene han innførte for å bevise dem, har vist seg å være like viktige som selve teoremene. Hans unike stil karakteriseres av geometrisk innsikt kombinert med en forbausende kontroll over bevisenes komplekse forgreninger, heter det i pressemeldingen fra Videnskapsakademiet.

Koronaproblemet

Det berømte koronaproblemet ble definert av japaneren Kakutani som på begynnelsen av 1940-tallet. Det har ingen ting med astronomi å gjøre, men henspeiler på den ringen av lysende materie rundt sola som kun kan observeres ved totale solformørkelser. Problemet tar for seg bestemte funksjoner definert på en sirkelskive. Randen til denne sirkelskiven er en sirkel. Dersom disse funksjonene ”oppfører seg pent innenfor sirkelen”, hvor mye krøll kan de da ”finne på” på selve sirkelen?

Carlesons teorem gir et svar på dette spørsmålet. I dette arbeidet innførte han det som er blitt kjent som Carleson-mål, nå et vesentlig verktøy innen både kompleks og harmonisk analyse (les mer) .

Hénon-avbildningen

Hénon-avbildningen er oppkalt etter astronomen Michel Hénon og refererer til et arbeid fra 1976. Både innen astronomi, meteorologi og andre områder (blant annet finansielle markeder og mange biologiske systemer, fra svingningene i fiskebestanden til epidemiologi) har det vist seg hensiktsmessig å beskrive fenomener ved et matematisk modellapparat som kalles dynamiske systemer. Selv de enkleste dynamiske systemer kan matematisk sett være overraskende komplekse. Et vanskelig problem innenfor denne teorien er å fastslå hvorvidt et system har en såkalt kaotisk attraktor (strange attractor). Hénon-avbildningen beskriver en måte å hoppe fra punkt til punkt i planet på. Når vi starter i et punkt, kan flere ting skje.

HÉNON-AVBILDNING*: Prøv selv

Vi kan hoppe mer og mer i retning av ett bestemt punkt, vi kan havne i en bane hvor vi hopper rundt og rundt mellom et endelig antall punkter eller vi kan forsvinne ut i det uendelig fjerne. Men det er også mulig at vi under Hénon-avbildningen havner i et område hvor vi ikke kommer ut igjen, men at vi innenfor området opplever en tilsynelatende kaotisk oppførsel, vi hopper hit og dit og fram og tilbake, uten annen regelmessighet enn at vi faktisk holder oss innenfor området. Et slikt område kalles en kaotisk attraktor, attraktor fordi hoppene har en tendens til å havne innenfor, kaotisk fordi avbildningen oppviser en kaotisk oppførsel når vi har kommet inn. En datamaskin kan lett gjøre de (tusenvis av) beregninger som trengs for å visualisere problemstillingen, men maskinen kan aldri gi et formelt og teoretisk bevis for eksistensen. Carleson viste i 1991, sammen med sin landsmann Benedicks, at Hénon-avbildningen har en kaotisk attraktor. Dette var faktisk det første beviset som ble gitt for at det eksisterer kaotiske attraktorer (les mer)

Kakeya-problemet

Det siste området hvor Carleson har bidratt med nyskapende arbeid er det såkalte ”Kakeya-problemet”, eller Kakeyas nålproblem, formulert av japaneren Kakeya i 1917 .

NÅLPROBLEM : Hvor lite areal kan man bruke for å snu en nål som ligger på et papir 180 grader, når man har lov til å flytte den fram og tilbake? Her er ett alternativ, men det kan gjøres bedre enn det. Les mer her

Problemet kan skisseres på følgende måte: Vi dypper en nål i blekk og legger den på et papir. Oppgaven går ut på å vri nålen 180 grader rundt uten å løfte den fra papiret. Vi har lov til å skyve den fram og tilbake mens vi dreier den, omtrent som vi gjør når vi snur bilen rundt på en parkeringsplass. Spørsmålet er hvor stort areal på arket som er farget av blekk når vi er ferdig, og spesielt om det finnes en nedre grense for dette arealet når vi velger en optimal måte å gjøre snuoperasjonen på.

Samfunnsengasjert

Innflytelsen fra Lennart Carlesons tanker og handlinger begrenser seg ikke til hans matematiske arbeider. Han har spilt en viktig rolle når det gjelder å popularisere matematikken i Sverige. Han skrev den populære boken «Matematik för vår tid» og han har alltid vært opptatt av opplæringen i matematikk. Carleson har hatt 26 doktorgradsstudenter og mange av disse er blitt professorer ved universiteter i Sverige og andre steder. Som direktør for Mittag-Leffler-instituttet utenfor Stockholm fra 1968 til 1984, satte han Mittag-Lefflers opprinnelige visjon ut i livet ved å bygge opp instituttet slik vi kjenner det i dag, et ledende internasjonalt forskningssenter for matematikk. Han fremhevet også spesielt instituttets rolle når det gjelder å veilede unge matematikere, en tradisjon som føres videre i dag.

Som president for International Mathematical Union (IMU) 1978-82 arbeidet Carleson hardt for at Folkerepublikken Kina skulle bli representert. Han klarte også å overbevise IMU om å ta hensyn til informatikkens bidrag til matematikken, og han medvirket til at Nevanlinna-prisen, som gis til unge forskere innen teoretisk informatikk, ble opprettet. Som president for vitenskapskomiteen ved den fjerde europeiske matematikkongress (European Congress in Mathematics) i 2004, tok han initiativet til vitenskapsforelesninger der fremstående vitenskapsmenn drøfter matematikkens mest relevante aspekter for vitenskap og teknologi.

Emneord: Matematikk og naturvitenskap, Matematikk, Ren matematikk Av Harald Aas
Publisert 1. feb. 2012 11:57
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere