Apollon

• Matematikken er nådeløs
• Matemagiske øyeblikk
• Hva gjorde den store Sophus Lie?
• Rom og dimensjon - hva er det?
• Matematikk for millioner
• Vidunderlige nye ringer
• Må elevene vende matematikken ryggen
• Mattesnadder

Hva gjorde den store Sophus Lie?

Tekst: Arild Stubhaug

«Å slakte hellige vinkelsummer»

«Det var den moderne geometri Sophus Lie nå [i 1868] møtte med slik fascinasjon og iver. Dette var en del av matematikken som altså hadde sine hovedkilder i Evklids to tusen år gamle bøker, og et felt som nå utover på 1800-tallet gjennomgikk en rivende utvikling.

Gamle og nye synspunkter og metoder ble bygd sammen til helhetlige teorier, og disse teoriene utviklet seg og fremstod mer og mer forskjellige fra det som tidligere var blitt forstått som geometri, først og fremst kanskje som en frigjøring fra en anskuelse av verden slik den umiddelbart synes. Den moderne geometrien -- i begynnelsen kalt både astral og imaginær geometri, etter hvert ble «ikke-evklidsk geometri» en samlebetegnelse – skulle i løpet av 1800-tallet mange steder vekke like heftige motreaksjoner som Darwins utviklingslære. Særlig i England skulle ikke-evklidsk geometri, Darwin og etisk relativisme bli koplet sammen og sagt å representere de absolutte gudsfiendtlige kreftene. På den andre siden ble utviklingslæren og ikke-evklidsk geometri manifestasjoner på at det i tiden ble tenkt på radikalt nye måter. Der den etablerte tro og tenkemåte prøvde å pakke alt og alle inn i ett evig omriss – fastlegge tanken under en eneste nødvendig formel og forklare menneskelig variasjon som resultat av eksistensen av ulike arter og slekter – satte de moderne teoriene frem forestillinger om hvordan knapt noe kunne være absolutt riktig sett, kjent eller beskrevet: Alt måtte i stedet med nødvendighet være sett og skildret under visse betingelser og derfor i siste instans være relativt. Dermed kom spørsmålet til å dreie seg om hva kunnskap egentlig bestod av, om den var gudegitt eller menneskeskapt.

I Frankrike og i Tyskland ble forbindelsen mellom matematikk og filosofi ikke så integrert i det kulturelle og intellektuelle miljøet som i England. I England fant diskusjonen om ikke-evklidsk geometri sted ikke bare i lærde tidsskrifter, men også i mer folkelige publikasjoner, og her ble det hevdet at like sikkert som at Gud eksisterer, like sikkert er det at summen av vinklene i en trekant er 180 grader, og omvendt. Den gamle, evklidske geometrien ble hamret inn som prototypen på klar tenking og logisk resonnement, og den ble stående som et lysende eksempel på den type kunnskap som var absolutt og sann – absolutt sann fordi den var en skildring av virkeligheten og i fullstendig samsvar med menneskets oppfatning av verden slik den ble opplevd og erfart. Den nye ikke-evklidske geometrien, som presenterer det faktum at vinkelsummen i en trekant, for eksempel på en kuleflate, ikke er 180 grader, representerte en trussel både mot etikken, moralen og håpet om å finne sann kunnskap i vitenskapen. Den ikke-evklidske geometrien viste at matematisk teori kunne gi opphav til en rekke ulike synsmåter, og den ble derfor en viktig del av det bildet som truet den autoritære kunnskapstilnærmelsen.»

«Gruppe-grep»

I analyse og algebra var funksjoner og likninger de sentrale arbeidsområdene. Niels Henrik Abel hadde i 1820-årene innledet en ny epoke i studiet av algebraiske likninger. Hans bevis for at likninger med høyere grad enn fire generelt ikke kunne løses ved hjelp av de vanlige regningsoperasjonene, åpnet helt nye forskningsfelt.

Men selv om slike likninger generelt ikke kunne løses, fantes det selvsagt mange spesielle likninger som hadde løsninger. Oppfølgende spørsmål var da: Hvilke likninger kan løses? Hva kvalifiserer til en løsning? Abel hadde ikke funnet et fullstendig svar på dette da han døde 26 år gammel i 1829. Men kort tid etter kunne franskmannen Évariste Galois beskrive og klassifisere disse løsningene ut fra visse symmetriegenskaper ved likningene. Galois' grep i denne problematikken skulle revolusjonere matematikken. Galois innførte nemlig begrepet gruppe, og dette matematiske verktøyet skulle vise seg uhyre anvendelig. Dette skjedde rundt 1830 - Galois ble lagt i jorden 21 år gammel, drept i duell om en kvinne i 1832. I de følgende tiårene ble grupper og gruppeteori anvendt stort sett bare på algebraiske likninger - men nye felter lå og ventet.

[…] Lie delte ikke Abels interesse for den rene algebra. Likevel skulle han - som Abel og Galois - få navnet sitt udødelig knyttet til dette algebraiske begrepet gruppe . Fra Abels og Galois' forestillinger om løsning av algebraiske likninger fikk nemlig Lie en idé om hvordan differensiallikninger kunne løses. Og med inspirasjon fra geometrien skapte Lie sin egen gruppeteori - om de såkalte kontinuerlige grupper, et matematisk verktøy som skulle vise seg spesielt velegnet til å uttrykke symmetri i geometri og analyse.

Lies ideer ble utgangspunkt for en ny og viktig matematisk disiplin som nå bare kalles Lie-teori . Begreper som Lie-algebra, Lie-gruppe og Lie-symmetri kom først i bruk rundt 1930 og ble da brukt i arbeidet med kvantemekanikk. For dagens matematikere og fysikere over hele verden står Lie-teori helt sentralt, og Lie-teorien finner stadig nye bruksområder i moderne naturvitenskap. En av de fremste kjennere av matematikk og matematikkhistorie, franske Jean Dieudonné, uttalte i 1980: "Lie-teori er i ferd med å bli den viktigste delen av moderne matematikk. Litt etter litt viser det seg at de mest uventede teorier, fra aritmetikk til kvantefysikk, kretser rundt denne delen som rundt en gigantisk akse.»"

«Håndgripelig imaginært»

«Å gi en anskuelig fremstilling eller representasjon av […] såkalte imaginære punkter og kurver, var imidlertid en oppgave som både Poncelet, Hamilton og Grassmann prøvde å løse, uten å lykkes. Det var denne oppgaven også Sophus Lie nå hadde satt seg, og som han løste med sin 'Imaginærtheorie'.

Liksom kotetall på et kart erstatter den manglende tredje dimensjonen i planet, tilla nå Sophus Lie det imaginære punktet i planet et anskuelig vektpunkt som en erstatning for den manglende fjerde dimensjonen i vårt anskuelige rom. Når punktene slik ble tillagt en vekt, kunne Lie vise at samlingen av slike vektpunkter i rommet utfyller et plan. Ved å vise at de punktene som har vekt lik null, danner en linje i planet, kunne han gjøre denne linjen, kalt nullinjen, til representant for den ønskede imaginære rette linje i planet. Et forhold som ikke er synlig med det blotte øye, forestilte han seg altså enkelt nok til å kunne nedtegnes: Imaginære rette linjer i planet kunne avbildes i de anskuelige rette linjer i rommet. Lie hadde med andre ord oppnådd å overføre geometriske forbindelser og informasjoner fra det reelle til det imaginære - og nettopp dette overføringsprinsippet (transformasjonen), dette å kunne flytte egenskaper fra den ene til den annen sfære, er et sentralt anliggende. At forhold og egenskaper fra ett område lar seg representere ved forhold og egenskaper fra et annet område, innebærer en vidtrekkende innsikt. I denne omgang representerte overføringsprinsippet for Lie at en hvilken som helst plangeometrisk setning kunne oversettes til en romgeometrisk setning, og han kunne peke på og beregne geometriske sammenhenger mellom figurer avbildet i det reelle planet med figurer i det komplekse.»

«Et 'Abstrac' anno 1870 »

«Kort tid etter […] skrev Lie til Videnskabs-Selskabet i Christiania for å redegjøre for sin oppdagelse. Dette var ennå en ikke uvanlig måte å sikre seg prioritet på i tilfelle det senere skulle oppstå tvil og diskusjon, og Lie ville sikre seg mot at andre stjal hans ideer. Brevet til vitenskapsselskapet er datert Paris, 5. juli [1870]:

Brevet inneholdt enda fire punkter hvor han også omtalte sine resultater om minimalflater og logaritmiske transformasjoner.»

«Abel og Lie – hvem var de?»

Kor viktige er Niels Henrik Abel og Sophus Lie i det verdsomspennande matematiske landskapet? Ein indikator kan vere referansane i dei største matematiske oppslagsbøkene. Om ein slår opp i Encyklopedia of Mathematics eller Encyclopedic Dictionary of Mathematics , så kan ein sjå at den som har aller mest referansar er tyske Bernhard Riemann – som døydde førti år gammal i 1866 – nestemann på lista er Sophus Lie, og tredjemann er Niels Henrik Abel.

Når ein tenkjer på kor liten – i verdsmålestokk – nasjonen er, og kor omfattande og fundamental den matematiske vitskapen er, så er dette ei fantastisk plassering. Og kanskje endå meir fantastisk når ein tenkjer på det vi her til lands på 1800-talet (for Abel og Lie) kunne tilby av matematisk undervisning og studiar. Ute i Europa blei nasjonen Norge kjent for matematikarane sine. Her heime var det ikkje noko matematisk miljø – i alle fall ikkje på europeisk nivå. Både Abel og Lie døydde før dei fekk høve og tid til å etablere noko rundt seg her i landet.

Med matematikarane Abel og Lie som lysande toppar, kan det med stor rett hevdast at naturvitskapen (på 1800-talet) her til lands – representerer eit alternativt Norges-bilde – alternativt til Ibsen, Grieg og Munch.

Abel: Eit kort, tragisk og imponerande liv

Alt Abel rakk å skrive ned av sine matematiske tankar og idear, skreiv han på fem-seks år – dei siste han levde – heile tida under stor uro om kva det skulle bli til med framtidig stilling og inntekt, og sistpå også med sjukdomsavbrot. Og då han døydde av tuberkulose 26 år gammal i 1829, hadde han på dei fleste menneskelege område eit svært ulykkeleg liv å sjå tilbake på. Ved skrivebordet var han suveren og sikker i si evne til å formulere, til å overføre det ukjente og nye til forståelege teikn og uttrykk. Arbeida hans blei epokegjerande på fleire felt. Men borte frå skrivepulten var han overdynga av bekymringar. Dette begynte ganske tidleg. Han vaks opp på prestegarden i Gjerstad, saman med fem søsken. 13 år gammal blei han sendt til katedralskulen i Christiania, og her gjekk han ei tid i klasse med den to år eldre bror sin, Hans Mathias, som dei første åra greidde seg betre og fekk betre karakterar enn Niels Henrik.

Far deira, Søren Georg Abel, var ein svært allsidig begava prest og folkeopplysar. Mor deira var dotter til den rikaste mannen i Risør by. Det var ikkje småtteri eit handelshus på Agder-kysten på slutten av 1700-talet rådde over. Men som så mange andre rike handelshus, gjekk også dette dundrande konkurs i åra etter Napoleons-krigane.

I 1806 skreiv fader Abel ei katekismeforklaring som i det neste tiåret kom i fem opplag her til lands og blei brukt på linje med Pontoppidans gamle pietistiske forklaring . Det var mange som såg ein komande biskop i sogneprest Abel. Frå sitt distrikt – Nedenes Amt – blei pastor Abel to gonger valt til stortingsmann, og ved begge sesjonane gjorde han seg sterkt bemerka, mest i negativ retning. Og livet hans enda i skandale og stor sorg.

Fordømd av universitetet

Det begynte med denne katekismeboka: Ikkje berre politisk og økonomisk, men også religiøst var det store omveltingar rundt 1814. Fader Abels katekisme blei no sett på som den verste form for vranglære og potet-prest-teologi som dei siste tiåra hadde prega norsk kyrkje- og skuleliv! Dette blei hevda frå Det teologiske fakultetet ved vårt nye universitet, eit universitet som no (i den nye nasjonen) blei tillagt ein kolossal autoritet i alle spørsmål. I landets største avis, Det Norske Nationalblad, blei Abels katekisme gjennomgått og kritisert sønder og saman punkt for punkt over fleire nummer. Konklusjonen kom på trykk: Fader Abel var landets største heidning – så grovt hadde han synda at han måtte ta ansvar for at minst 10 000 norske sjeler var på rask veg til fortaping. Dette skjedde i 1817. Niels Henrik var elev ved katedralskulen og skulle konfirmerast i Vår Frelsars kyrkje og undervisast nettopp i farens katekisme.

Berre nokre månader etter at fader Abel var blitt omtalt på denne måten, kom han (for andre gong) som stortingsmann til hovudstaden. Frå Stortingets talarstol kritiserte han no ein av landets mektigaste menn: Carsten Anker, eigaren av Eidsvoll jernverk, vert for Eidsvolls-forhandlingane som nettopp hadde gitt oss Europas mest liberale grunnlov. Representant Abel kritiserte og skulda Carsten Anker for å ha lurt arbeidarane sine i pensjonsspørsmål, og desse skuldingane blei tekne som ei så stor fornærming at saka under heile sesjonen verserte i ulike komitear, og det blei truga med riksrett.

Familietragedie

Saka blei likevel til sist lagt til sides fordi det blei sagt at ein riksrettsprosess ville vere sløsing både av krefter og pengar. Dette skjedde hausten 1818–. Fader Abel reiste heim til prestegarden sin i Gjerstad, og han begynte å drikke meir enn før. Alle i bygda visste at presteparet drakk og at dei helst drakk kvar for seg – fru Abel synest tidleg å ha blitt alkoholisert. Med fader Abel gjekk det no raskt nedover. Då han gjekk bort våren 1820, ville han døydd i dei mest sørgelege og usanitære forhold om det ikkje hadde vore for gode hjelparar i bygda. Kona ville i alle fall ikkje stelle han, ho ville dei siste dagane ikkje eingong gi han eit glas vatn å drikke. Og i fader Abels gravferd drakk ho seg openlyst full og gjekk til sengs med ein tenestekar.

På katedralskulen i Christiania reagerte Niels Henrik og storebror Hans Mathias svært ulikt på familiens og farens gradvise undergang. Niels Henrik hadde nettopp då dette skjedde, fått tak i matematikken og tileigna seg ny kunnskap med ein slik fart at læraren hans – Bernt Michael Holmboe – i karakterprotokollen omtalte han som «Et udmærket mathematisk Genie». Men i dei andre faga gjekk det tungt, og han blei berre «på prøve» flytta opp i ny klasse. Men for storebror Hans Mathias svikta konsentrasjonsevna fullstendig, karakterane raste nedover, og han gleid inn i ein depresjon så djup at rektor måtte sende han heim med klar melding om at det ikkje lenger var noko håp for at han nokon gong ville greie å ta examen artium. Storebror Hans Mathias blei sendt heim til Gjerstad, og der kom han resten av livet, i over 20 år, til å gå som ein halvtulling i moras skjørtekantar.

Niels Henrik var frå no av svært opptatt av å berge stumpane av familien og fekk etter kvart to av søskena sine inn til Christiania og lykkast med å sette dei på rett spor før han sjølv gjekk bort. I løpet av desse åra blei han også forlova – til vennenes store forundring – noko økonomisk utsikt til giftarmål fekk han aldri, men han rakk såvidt også å kople forloveden sin til eit framtidig godt liv – i ekteskap med ein av sine beste venner.

Eg påstår sjølvsagt ikkje at all denne tristesse skulle til for å skape det matematiske geniet, men det er tydelege trekk i bildet av mennesket og matematikaren Abel. Mens familien gjekk ad undas rundt han, blei han djupt engasjert i matematiske problemstillingar, og stigninga opp i det matematiske var brå og veldig.

Elevstreik

Denne plutselege og intense matematiske vendinga har også med matematikklærarane hans å gjere – og med enda ei tragisk hending. Etter dei nye skulereformane rundt århundreskiftet 1800 skulle det å slå og pryle elevane også vere avleggs. Men Niels Henrik sin første matematikklærar på katedralskulen i Christiania – H.P. Bader – var ein av dei som dreiv på gamlemåten: Avskrift frå tavla, og pryl til den som ikkje lærte. Og ein dag i november 1817 skjedde noko skjebnesvangert: Han slo ein elev så voldsomt at eleven etter åtte dagars sengeleie døydde. Elevane nekta å møte til undervisning dersom ikkje Bader blei fjerna – truleg var dette den aller første elevstreiken i norsk skulehistorie. Bader blei suspendert og kom aldri tilbake. Rektor måtte i hui og hast finne ein ny matematikklærar, og han fann ein av sine tidlegare elevar, Bernt Michael Holmboe, som hadde fått all den matematikkundervisning det gjekk an å få i Norge på den tida, og som hadde studert vidare på eiga hand. Holmboe var berre sju år eldre enn Niels Henrik, han var inspirert av nye pedagogiske idear og begynte å gi elevane oppgåver. Og etter kort tid oppdaga han altså Niels Henriks heilt eineståande evner. Han ga Niels Henrik privatundervisning og rettleia han vidare i den matematiske litteraturen.

Kolossen Lie

Sophus Lie – også han son til ein sokneprest – oppdaga først då han var 26 år, altså like gammal som Abel var då han døydde, at det med hans eigne ord «stakk ein matematikar i han». Men i dei siste 30 åra av livet var Lie ein av dei aller mest produktive matematikarane, og han etterlot seg, òg i omfang, eit kjempeverk.

Det er også mykje anna materiale igjen etter Lie: Avisartiklar om matematikkundervisning i skule og på universitet, venners omtalar av han, personlege brev til venner og kollegar (innanlands og utanlands) og ikkje minst ei omfattande samling brev til forloveden og seinare ektefelle Anna Birch. Dette er for ein stor del brev skrivne akkurat i den perioden då han kanskje var mest nyskapande som matematikar. Det er så å seie ei «loggbok» som skildrar den kvardagslege periferien i eit genis utfalding. I breva til forloveden er Lie svært oppteken av å skildre eitkvart nytt kjenslerom i forholdet mellom dei to. Han sender stadig ut «følarar» for å lodde dette rommet, for å angi kor nært han ønska å ha henne. Lie synest svært notidig i sitt engasjement med å kartlegge eit menneskeleg samspel. På den andre sida var han opplagt prega av den tidas mannsideal og prøvde på alle måtar å styre Anna (og lykkast ganske sikkert også). Den eine dagen fridde han – og omtalte det som å få sin «Skjebne afgjort». Han fekk ja, og den neste dag formulerte og definerte han det som seinare er blitt kalla Lie-algebra, begynnelsen til det som i dag er Lie-teori, som med sine forgreiningar til dei mest ulike bruksområde er blitt ein gigantisk akse svært mykje, både innan rein og anvendt matematikk, dreier seg om.

Eit kjenneteikn i dei fleste sine omtalar av Sophus Lie er den lekamlege kjempeskikkelsen – med veldig skjegg og grønblå auge gnistrande bak brilleglasa, ein blond nordisk urtype blei han kalla ute i Europa, ein germansk jetteskikkelse, ein kjempe full av livsmot, med dristige mål og ubendig vilje. Lie blei også omtalt som ein veldig turist og turgåar som på strabasiøse fjellturar gjekk dobbelt så fort og langt som andre. I desse skildringane av fysisk og åndeleg styrke låg også kimen til forestillingar om den geniale vitskapsmannen, sjåaren som intuitivt fatta nye samanhengar, men også kolossen som i sin iver etter stadig ny kunnskap kunne komme til å trenge andre til side.

Stortingsprofessor

30 år gammal blei Lie professor i matematikk. Det var i 1872, og då blei han den første såkalla «stortingsprofessor» her i landet. Det vil seie han blei utnemnd av eit stortingsfleirtal, ikkje gjennom dei vanlege tenestevegane med regjeringa på toppen. I konservative krinsar blei difor begrepet «stortingsprofessor» alltid eit negativt lada begrep. Lies professorat var ein stilling som var gitt til han personleg og ikkje primært for å halde forelesingar, men for å drive vitskap. På mange måtar var dette å likne med dei diktargasjene Stortinget var begynt å gi.

Og då Lie etter 14 år i denne stillinga fekk det ærefulle tilbodet om å bli professor i Leipzig, samanlikna han seg også med dei norske diktarane. Lie meinte då han enkelt (med permisjon) kunne forlate stillinga si i Christiania, for, som han skreiv: «Min stilling er altså i så måte å sammenligne med våre diktere: Bjørnson, Ibsen etc. har diktergasje og bor for det meste i Paris, Dresden, München, Rom.»

Leipzig var eit matematisk senter alt før Lie kom dit. Lie skulle i løpet av sine tolv år i denne byen bli ein leiande matematikar og ein sentral skikkelse i det internasjonale matematiske miljøet. Lie danna «skule» i Leipzig og frå heile Europa og Nord-Amerika kom det talentfulle studentar for å sitte under hans kateter og høyre han forelese om geometri og differensiallikningar og om eigne teoriar, som framfor alt var studiet av transformasjonsgrupper. Det tydelegaste uttrykket for Lies posisjon var då den fremste matematiske eliteinstitusjonen École Normale Superieure i Paris begynte å sende sine beste studentar til Lie i Leipzig.

Nasjonalsymbol

I Norge var ein også klar over Lies internasjonale ry, og utover i 1890-åra blei det også kjent at han mistrivdest i utlandet og lengta heim: Framfor alt sakna han den norske naturen.

Mange syntest det var på høg tid å få Norges store son tilbake, også for å vise kva nasjonen kunne mønstre i den unionsstriden som nærma seg.

Det låg difor både personlege og nasjonalpolitiske motiv til grunn då det blei sett i gang ein storstilt aksjon for å få Norges berømte vitskapsmann tilbake til landet. Lies mistrivsel på «de leipzigske sletter» blei brakt på bane av Fridtjof Nansen, og Bjørnstjerne Bjørnson og matematikaren Elling Holst m.fl. arbeidde så effektivt at Stortinget alt sommaren 1894 vedtok å endre tittelen på Lies stilling til «Professor i Transformationsgruppenes Theori» og tilby ein gasje på 10 000 kroner – omtrent det dobbelte av ei ordinær professorlønn. Men det skulle likvel gå fire år før Lie på permanent basis kom attende. Det tok tid å avvikle arbeidsoppgåver og plikter, og framfor alt fleire større bokutgivelser i Leipzig.

Og då Lie endeleg kom tilbake til Norge hausten 1898, var han dødssjuk–. Han leid av pernisiøs anemi, den gongen ein uhelbredeleg blodsjukdom. Etter seks-sju månader døydde han.

[Publisert 04.03.2000 ]

Apollons leksikon

Artikler knyttet til Fagområder

• Topologi/geometri
• Matematikk

Artikler knyttet til Personer

• Hans Mathias Abel
• Niels Henrik Abel
• Søren Georg Abel
• Carsten Anker
• H. P. Bader
• Anna Birch
• Bjørnstjerne Bjørnson
• Jean Dieudonné
• Eva Riste Galois
• Hermann Günter Grassmann
• Edvard Grieg
• William Rowan Hamilton
• Bernt Michael Holmboe
• Elling Holst
• Henrik Ibsen
• Sophus Lie
• Edvard Munch
• Fridtjof Nansen
• Jean-Victor Poncelet
• Bernhard Riemann

Hoved kategorier

• Fagområder
• Enheter
• Personer
• Artikkeltyper