Matematikk i alt

Tall, tallhåndtering, symmetrier og geometrisk forståelse er en del av hverdagslivet overalt på kloden. Uansett om vi er det bevisst som matematikk, gir det et bilde av forholdet mellom matematikk og kultur.

Det mener Onstad, som nå har lagt etnomatematikk inn på pensum i den ettårige praktiskpedagogiske utdanningen. Etter mange års undervisning i matematikk i Norge og Tanzania og utdanning av matematikklærere, havnet Onstad tilfeldig i etnomatematikkens fascinerende og mangfoldige verden. Det skjedde under et flammetre i Tanzania da han fordypet seg i reiselektyren Africa Counts. Number and Pattern in African Culture, skrevet av Claudia Zaslavsky.

Hvordan viser du tallet sju med fingrene? Onstad slår straks fast at det finnes mange måter å gjøre dét på i Norge; hvilke fingre man tar bort og hvilken vei håndflatene snus.

I mange afrikanske kulturer ligger mønsteret helt fast; hvert tall har sin fingerstilling. Noen tradisjoner tilsier at tallet demonstreres med de pekende fingrene, i andre blir de aktuelle tallene angitt ved de fingrene som tas bort. Sju kan derfor være to fingre som gjemmes i den andre knyttede neven.

På leting etter fellestrekk i verdens bruk av tall, tar Onstad utgangspunkt i handel som en grunnleggende menneskelig samhandling.

Antall kan angis i naturalia eller med hjelpemidler som småstein eller pinner. Vårt ord «kalkulere» stammer fra det latinske «calculus», som betyr små stein. Og det norske «sneis», 20, kommer av det norrøne ordet for pinne.

Dyreflokker i Sør-Amerika kan telles med små stein som legges for seg om morgenen og kontrolleres mot antall dyr som kommer hjem om kvelden. I noen kulturer er det visuelle overblikket så godt trenet at det erstatter tellingen. Faren ser umiddelbart om sauer mangler når gutten kommer hjem med dyreflokken etter dagens beite.

Man vet at mange gatebarn i Brasil kommer til kort i skolens matematikkundervisning, men i gatehandel framviser de en suveren tall- og regnekapasitet, forteller Onstad.

Hvordan har norske husmødre oppfattet mengder? Onstad er opptatt av hemmeligheten ved «knivsodd», «klype», «passe stor/passe lenge»; og hva med en «favn» ved? Øyemål og sikker matematisk sans er elementer i yrker og miljøer med høyst forskjelligartet erfaringsverden.

Gjentakelser og symmetrier

Gjentakelsene er et fellestrekk ved alle tellesystemer, i vårt titallsystem gjentas enerrekken etter hver ny tier. Sånn er det også i tjuetallsystemer som brukes mange steder i verden, og femtallsystemene som opptrer i Afrika. Både fem, ti og tjuetallsystemene tar naturlig utgangspunkt i kroppen: Fingrene på én hånd, på to hender, eller alle fingre og tær. Det er heller ikke ulogisk med den cali-forniske indianerstammen som teller mellomrom mellom fingrene og derfor opererer med et åttetallsystem.

I Europa dominerer titallsystemet, men tellemåten på dansk og fransk røper rester av et tjuetallsystem: «Halvtres» er tre sneis minus et halvt sneis, altså 3 x 20 - 10 = 50, «tres» er 3 x 20, osv. Åtti på fransk heter «quatre-vingt», nemlig 4 x 20.

Hardangersøm og selbumønstre, gotisk arkitektur, keltiske flettemønstre og malte takbjelker hos maoriene er på samme vis studieobjekter for matematikere. Overalt veves, males og skjæres mønstre, enkle eller avanserte, men de har ofte ett fellestrekk: de er symmetriske. De gjentar seg selv. Matematikerne definerer en bord ved at dersom du flytter mønsteret ett hakk, er det likt seg selv. I prinsippet finnes det sju ulike typer border når man ser på symmetrier av typen speiling opp/ned eller speiling høyre/venstre. Går man over til mønstre på flater som kan gjenta seg i alle fire retninger, har matematikerne definert 17 forskjellige typer.

I kunstnerisk utfoldelse er symmetri naturligvis ikke en nødvendig bestanddel, men det er forbløffende hvor mye man finner av den slags, med spredning både geografisk og i tid.

I norsk treskurd, forteller Onstad, er det derimot ikke så vanlig med symmetri. Det usymmetriske ble ofte regnet for finere enn symmetriske utskjæringer.

Hvis man er opptatt av å finne sammenhenger mellom matematikk og kunst, er det mye spennende å gå i gang med hos arkitekter. Perspektiv er blitt grundig studert av mange malere, og «det gylne snitt» har spilt en stor rolle i både kunst og arkitektur.

En verdenskjent arkitekt som Le Corbusier leker med matematiske strukturer, og en kunstner som hollenderen M.C. Escher er med sin grafikk og sine tegninger en gullgruve av optiske bedrag og geometrisk utforskning. Noen av bildene hans er faktisk visualiseringer av en type ikke-euklidsk geometri som kalles hyperbolsk geometri. I en slik geometri er en «rett linje» en sirkelbue som står vinkelrett på periferien. Her blir Euklids berømte parallellpostulat brutt: Gjennom et punkt utenfor en linje går det mange forskjellige paralleller med linjen.

Spillstrategi og sandtegning

Eksempel på en sandtegning fra Angola. Tegningen illustrerer forholdet mellom Gud, sol, måne og menneske. Voksne bruker tegningen til å fortelle barn om tilværelsen. (Illustrasjon fra boken «Africa Counts»)

Lek og spill er spekket med matematiske ytringer, og spillstrategi er da også en gren av matematikken.

Brettspill med kuler finnes massevis av steder rundt omkring i verden. Selv om de kan være enkle, forutsetter de telling og strategi.

Det gjør også løsningen på problemet for mannen med den vesle båten som skal frakte en ulv, en geit og et kålhode over elven. Han kan bare ha med én av gangen for at båten ikke skal synke, men ulven spiser geita hvis han lar dem være igjen, og geita spiser kålhodet hvis de blir igjen. Så hva skal han gjøre?

Grunnelementene i historien er de samme i en rekke kulturer, men fraktegodset har tendens til å få lokal farge: Ulven blir en leopard eller kålhodet kassavablader. Eller oppgaven handler om tre menn og tre kvinner der hver mann ønsker å gifte seg med alle kvinnene. Hvordan skal disse komme seg over elven med en båt som bare tar to personer og uten at noen mann forgriper seg på noen av kvinnene?

Jule- og påskenøtter i norske ukeblader er gjerne variasjoner over temaene «flytte fyrstikker i mønstre» eller «streke opp gitte former uten å løfte blyanten og uten å gjenta streker». Slike øvelser er lek for mange og alvor for noen. En barnelek i Zaire er sandtegning med finger eller pinne. Tegningen skal strekes opp i én lang kontinuerlig bevegelse, og ingen streker må markeres to ganger. I Angola inngår sandtegning i oppdragelsen. En tegning kan illustrere menneskets plass i skaperverket, en annen kan forberede gutter på stammens innvielsesritualer.

I øygruppen Vanuatu i Stillehavet tegnes også innviklete sandmønstre i uavbrutte håndbevegelser og har til oppgave å kvalifisere tegneren til status som en av «de eldste» i samfunnet.

Matematikere opererer med begrepet «isomorfe grafer». Det er strekformer som visuelt kan se svært ulike ut, men hvor strekene i prinsippet er knyttet sammen på samme måte. Det viser seg at et folk i Angola må ha en tilsvarende avansert forståelse for figurers sammenheng på tross av visuelle forskjeller. De bruker nemlig samme navn på figurer av høyst forskjellig utseende, som likevel er isomorfe i matematisk forstand.

«Alt er tall!», sa pythagoreerne 500 år f.Kr. og gjorde pentagrammet, femstjernen, til sitt fremste symbol. Norske treskjærere har også vært fascinert av nettopp den formen. I bunnen av norske treskåler kan man finne en «hekselås», et «trolltegn» eller en «tussestjerne», tre navn for femstjernen som treskjæreren måtte passe på å skjære ut uten å løfte kniven. Det var vernet mot den trolldom han ved hjelp av symbolet forsverget.

Norske treskjærere har skåret en rekke geometriske symboler inn i krus og boller. Figur I er et pentagram, femstjernen, som pythagoreerne gjorde til sitt fremste symbol 500 år f.Kr. Treskjæreren måtte skjære uten å løfte kniven: det var vernet mot den trolldommen han forsverget ved hjelp av symbolet.

Krydder i matten

Torgeir Onstad får begeistrete tilbakemeldinger når han trekker fram fortellingene om matematiske hverdagsytringer gjennom historien og over store geografiske avstander for matematikklærere in spe og matematikklærere med lang fartstid. Men hvordan blir denne form for «matematisk antropologi» ansett i de lærde fagkretser?

Jeg medgir gjerne at det er et slags krydder i matten, men krydder kan være svært viktig for maten. Det er å bidra med noe ekstra som inspirerer i faget. Dessuten ser jeg det ikke bare som krydder. Å ta utgangspunkt i barns og unges egen hverdag og peke på vår omgang med matematikk, har pedagogisk verdi. Hvorfor nøye seg med idealiserte geometriske figurer, når man kan diske opp med norske strikkemønstre og broderier, og eksempler på «det gylne snitt» i malerier og arkitektur? I flerkulturelle skoleklasser ligger det i dette stoffet potensial for noe spennende som både kan berike matematikkundervisningen og bidra til kunnskap om ulike kulturer, tenkemåter og tro.

Med Reform 94 har Onstad dessuten fått blåstempel for at dette er relevant kunnskap. I læreplanen for grunnkurs i matematikk for videregående skole heter det nemlig nå at «matematikkens historie», «matematikkens røtter i ulike kulturer» og «samspillet mellom matematikk og kunst» er målsettinger innen temaet «matematikk som kulturarv».

Så nå er det fritt fram for sammenliknende studier av den kulturelle betydning av tallet førti: Israel var i ørkenen i førti dager, Ali Baba hadde med seg førti røvere, svangerskapet varer i førti uker, og det er førti steiner i Stonehenge-monumentet. Og hva med de sju porter til visdommen hos sarasenske jøder, vår sjuende himmel eller sjuende far i huset?

Mange lar seg engasjere av slikt, sier Onstad og forteller at han nettopp fikk telefon fra en fjerdeklassing i Nittedal som hadde hørt at tallet ni er tegn på udødelighet. Matematikken ligger gjemt både i eventyrene, i den religiøse arv og i vårt blikk på verden.