Matematikk for millioner

En haug med appelsiner, én kasse: Hvordan få flest mulig appelsiner ned i kassen? Fysikerne har eksperimentert, observert og konkludert og funnet ut at den tetteste pakkingsgraden oppnås ved å legge appelsinene i et sekskantet mønster – hver appelsin i det første laget blir omgitt av seks andre. Så legges hvert nye plan appelsiner i fordypningene i det forrige. For matematikerne er ikke svaret så enkelt. Det er ikke framsatt noe bevis for at det ikke finnes en måte å pakke appelsinene på som legger dem enda tettere. Det som for en fysiker er sikker kunnskap, er for en matematiker fortsatt bare en antakelse – om enn en svært sannsynlig antakelse.

Matematikkens strenge krav til bevisførsel gjør det ekstremt vanskelig å flytte grensesteiner i faget. Det eldste av de sju nøttene som Clay Mathematics Institute utforder skarpe hjerner til å knekke, stod på en liknende liste på 23 problemer som David Hilbert offentliggjore ganske nøyaktig hundre år tidligere. Riemann-hypotesen, som hvis den er sann, vil gi enorme kunnskaper om primtallenes innerste vesen, har motsatt seg å bli endelig bevist helt siden den ble satt fram på midten av 1800-tallet.

Penger ingen drivkraft

Det er ikke vanskelig å finne matematikere på Universitetet i Oslo som kjenner til alle sju problemene – som spenner fra kvantefysikk via hydrodynamikk til tallteori og geometri. Men å finne noen som jobber med å løse dem, er ikke enkelt. Det er få som føler seg bekvem med å snakke høyt om at de er i nærheten av en så halsbrekkende operasjon, med de enorme krav til kunnskap og den store fallhøyden ved å mislykkes.

Det faktum at en stor sum penger er knyttet til løsningen av hver av gåtene, ser heller ikke ut til å virke spesielt stimulerende for å forsøke seg på slike bragder.

– Å forsøke å løse et av problemene på Clays liste, er en altfor usikker strategi for å vinne rikdom, sier professor Jens Erik Fenstad ved Matematisk institutt. Han oppfatter ikke de sju utfordringene med dertil hørende pengepremier som noe viktig incitament for profesjonelle matematikere.

– Det jobbes allerede med samtlige sju problemer. De er alle både viktige og velkjente og har lenge vært en utfordring for matematikerne. Sånn sett er listen ikke nødvendig for å motivere matematikere til å forsøke å løse dem. Men den kan gjøre en større allmennhet oppmerksom på matematikkens betydning. Den viktigste drivkraften for matematikere er når alt kommer til alt en kombinasjon av glede og ærgjerrighet, sier Fenstad. – Gleden over å oppnå nye erkjennelser og større innsikt, kombinert med ønsket om å bli husket for å ha løst vanskelige problemer.

– Hvordan kan disse gåtene løses?

– For enkelte av de sju problemene er det som trengs en god idé, fra en mentalt atletisk enkeltperson. Men flere av dem er store forskningsprogrammer som mange mennesker jobber med, sier Jens Erik Fenstad.

Utfordring nr. 1: P versus NP

En av de sju nøttene handler nettopp om å løse vanskelige problemer. Mange matematiske problemer er enkle å beregne. Det finnes velkjente regneregler – algoritmer – for å løse dem innen rimelig tid. Disse samler matematikerne i klassen «P». Andre problemer kan i teorien løses, men det vil ta så lang tid at det er umulig å gjennomføre i praksis. Imidlertid er det mulig å sjekke om en løsning på problemet er riktig i løpet av overkommelig tid. De som kan sjekkes, men ikke løses fra bunnen i gjennomførbar tid, kaller matematikerne klassen «NP». Intuitivt antar de fleste at klassen NP er større enn klassen P, men ingen har noen gang kunnet bevise at det er forskjell på de to klassene. Kanskje alle problemer hvor løsningene kan sjekkes, også har en løsning som er gjennomførbar. I så fall kan for eksempel en rekke krypterte meldinger knekkes i overkommelig tid, bare noen finner den riktige metoden, og mang en nettbankoverføring blir dermed det rene hasardspill.

Høy status

I likhet med Fenstad avviser også professor John Rognes at pengepremien vil være noen motiverende faktor for å ta fatt på en av de vanskelige nøttene.

– Listen oppfattes nok mest som en kuriositet. Ingen etablert matematiker vil på grunn av pengepremien forandre fagfelt for å begynne å arbeide med disse problemene. For utøvende matematikere vil alle problemene imidlertid allerede ha så høy status at mange vil være interessert i å tenke på dem.

Rognes mener forskere ved Matematisk institutt vil kunne ha noe å bidra med ved noen aspekter knyttet til de fleste gåtene. Et felt hvor han mener det finnes gode kunnskaper på universitetet, er klassifikasjon av geometriske former, også kalt mangfoldigheter.

Utfordring nr. 3: Poincaré-formodningen

Et av de sju problemene, Poincaré-formodningen, handler om topologiske egenskaper ved overflaten av ulike legemer i rommet, det vil si egenskaper som ikke endres om flaten tøyes og strekkes som gummi, men uten å klippes og limes. En sammenhengende flate sies å være enkeltsammenhengende hvis enhver kurve på flaten kan snurpes sammen som en gummistrikk til et punkt uten å forlate flaten. Denne egenskapen har ikke overflaten på en smultring, hvor det er umulig å snurpe sammen en gummistrikk rundt ringen til et punkt uten å forlate overflaten. Derimot vil overflaten på en kule ha denne egenskapen. Kuleflaten er altså enkeltsammenhengende. Enhver enkeltsammenhengende flate er topologisk lik en kuleflate. Med matematikkens terminologi: en enkeltsammenhengende todimensjonal lukket mangfoldighet, dvs. en enkeltsammenhengende flate, er topologisk ekvivalent med en todimensjonal sfære, dvs. kuleflaten. Spørsmålet er: gjelder det samme for en enkeltsammenhengende tredimensjonal lukket mangfoldighet ? Er den topologisk ekvivalent med en tredimensjonal sfære ?

Fermats gåte

Ikke alle matematiske utfordringer er like infløkte. Fermats gåte, som i over 350 år stod uløst, er i utgangspunktet relativt enkel å forstå: Likningen x^2 + y^2 = z^2 har uendelig mange løsninger, den enkleste er 3^2 + 4^2 = 5^2. Finnes det noen løsning i hele tall på den tilsvarende likningen hvor tallene er opphøyd i høyere potens enn to? Kan man ved hjelp av små terninger bygge opp først en stor terning x^3 og så en annen stor terning y^3, og siden slå dem sammen til en enda større terning z^3? Eller kan man gjøre det samme med tall opphøyd i en høyere potens enn tre? Ingen har noen gang funnet tre tall som passet sammen i likningen, men det fantes likevel ikke noe matematisk bevis for at likningen ikke kunne løses, før Andrew Wiles kunne gi et tilfredsstillende bevis i 1994, ved hjelp av en lang rekke matematiske metoder, beskrevet over 130 sider.

Den samme Wiles er en av de fire som har formulert problemene fra Clay Mathematics Institute. Sammen med seg i instituttets vitenskapelige råd hadde han blant andre den franske professoren Alain Connes , som 1. september i år ble kreert til æresdoktor ved Universitetet i Oslo. Da vi oppsøkte den joviale Connes, var han lite villig til å snakke om seg selv og sine bragder, men de matematiske utfordringene som er nedfelt i de sju gåtene, snakket han gjerne om:

– Alle de sju problemene er løsbare, men det er usikkert innenfor hvilken tidshorisont. Vi ønsket å finne noen av de grunnleggende problemene innen flest mulige grener av matematikken. Å løse disse problemene, er som å klatre til toppen av Mount Everest, sier Connes. Akkurat som Fermats gåte krevde en haug matematiske teknikker fra ulike disipliner for å bli løst, krever hvert av de sju problemene store matematikkunnskaper, for ikke å si helt nye teknikker og begreper, for å kunne løses.

Utfordring nr. 6: Navier-Stokes’ likninger

I tilknytning til ett av problemene, Navier-Stokes’ likninger, har Universitetet i Oslo et sterkt miljø innenfor et annet realfag, geofysikk. Likningene beskriver hvordan trykk og hastighet i en væske utvikler seg. Den ser ut til å gi en god beskrivelse av hva som skjer fysisk. Anvendt på vann eller luft har disse likningene en stor betydning for geofysiske beregninger og værvarsling. Spørsmålet er om det finnes et teoretisk fundament for den løsningen man ser i praksis. Også i miljøet på avdeling

for mekanikk ved matematisk institutt jobbes det med simulering av disse likningene.

Optimistiske hypoteser

– Det er vanskelig å gjette hvor mange millioner Clay må ut med, men noen millioner ryker nok, sier førsteamanuensis Nils Øvrelid ved Matematisk institutt om muligheten for å finne løsninger på problemene. Han kaller de fleste problemene for optimistiske hypoteser: – Hvis svaret på antakelsene og hypotesene er positive, sier det at verden er forholdsvis enkel. Men det er et langt sprang fra å sannsynliggjøre noe til å bevise det.

På direkte spørsmål om hvor han mener miljøet i Oslo har noe å bidra med, blir Øvrelid nølende. – Tja, kanskje innenfor Riemann-hypotesen.

Utfordring nr. 4: Riemann-hypotesen

Riemann-hypotesen er det eldste og kanskje viktigste problemet av de sju. Den behandler et fundamentalt felt i matematikken, nemlig rekken av primtall. Primtallene, det vil si de tallene som ikke kan deles på andre tall enn 1 eller seg selv, ligger først tett på tallinjen (2,3,5,7,11,13,17…). Så tynnes de ut etter hvert som man beveger seg oppover. Mens det finnes 25 primtall mellom 0 og 100, finnes det bare to mellom 100 000 og 100 100. I den uendelige rekken av tall finnes det et uendelig antall primtall, og antakelig også en uendelig antall primtallstvillinger, par av primtall med differanse på to (for eksempel 22 271 og 22 273). Ingen har noen gang klart å avdekke et mønster i fordelingen av primtall.

Mønsteret i rekken av primtall viser seg i nullpunktene til en spesiell funksjon som kalles Riemanns Zeta-funksjon. En funksjon er en formel hvor man setter inn ett tall og får ut et annet tall, og nullpunktene til funksjonen er de tallene som gir svaret null når de blir satt inn i funksjonen.

Den såkalte Riemann-hypotesen sier noe om hvor nullpunktene til Zeta-funksjonen kan finnes. (De skal alle ligge på en bestemt linje i det «komplekse tallplan».) Hvis Riemann-hypotesen er sann, er tallenes verden mer regelmessig enn hvis den ikke er det, sier Øvrelid.

Ønske om å rekruttere

Heller ikke Alain Connes ser på pengepremien som den viktigste drivkraften for å knekke nøttene:

– Premien på én million dollar gjenspeiler at det er snakk om virkelig vanskelige problemer, som vi til dels ikke har teknikker for å løse i dag. Men det viktigste målet med listen er å få publisitet. Hilberts liste gjorde kjent noen grunnleggende matematiske problemer. Problemene på denne listen er velkjent blant matematikerne. Nå er målet å forsøke å rekruttere unge mennesker til å arbeide med dem, slik at de en eller annen gang i framtiden kan løses.

Jens Erik Fenstad mener imidlertid at de sju nøttene fra Clay Mathematics Institute representerer et konservativt valg: – Jeg synes listen mangler perspektiv og fantasi overfor nye anvendelser og utfordringer. Ikke minst i retning av biomedisin, hvor det er enorme matematiske utfordringer knyttet til undersøkelsen av det menneskelige arvestoffet.

John Rognes oppsummerer det hele slik: – Jeg tror alle problemene er løsbare. Men det kan hende at de over lang tid blir oppfattet som uaktuelle. Da behøver de ikke å bli løst.